高校数学・根号計算

x+1/xの多項式

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち， $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値のバックアップファイルです．
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【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

【目次】 • 対称式の変形
• $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値
• 根号計算 • 分母の有理化
• 無理数の独立
• 対称式の値（無理数）
• 絶対値の入試問題
• 文字式を含む根号計算
• 二重根号
• センター･共通･数と式
• 根号計算の入試問題

$x^n+\frac{1}{x^n}$ の値

■基本
$x^n+\frac{1}{x^n}$ の値は， $x+\frac{1}{x}$ の多項式で表わすことができます。

(例１) $\big(x+\frac{1}{x}\big)^2=x^2+ 2+\frac{1}{x^2}$
だから
$x^2+\frac{1}{x^2}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^2-2$ ･･･(1)

$P_1=x+\frac{1}{x},\hspace{3}P_2=x^2+\frac{1}{x^2}$
とおくと
$P_2=P_1^2-2$
が成り立つ

(例２) $\big(x+\frac{1}{x}\big)^3=x^3+ 3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}$
だから
$x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^3-3\big(x+\frac{1}{x}\big)$ ･･･(2)

$P_1=x+\frac{1}{x},\hspace{3}P_3=x^3+\frac{1}{x^3}$
とおくと
$P_3=P_1^3-3P_1$
が成り立つ

その他の変形 $x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$ ･･･(2’) $P_1=x+\frac{1}{x},\hspace{3}P_2=x^2+\frac{1}{x^2},\hspace{3}P_3=x^3+\frac{1}{x^3}$ とおくと $P_3=P_2P_1-P_1$ が成り立つ	(例３) $x^4+\frac{1}{x^4}=\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)^2-2$ $=\{\big(x+\frac{1}{x}\big)^2-2\}^2-2$ $=\big(x+\frac{1}{x}\big)^4-4\big(x+\frac{1}{x}\big)^2+ 2$ ･･･(3) または $x^4+\frac{1}{x^4}=\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)$ ･･･(3’)
(例４) $x^5+\frac{1}{x^5}=\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$ ･･･(4) または $x^5+\frac{1}{x^5}=\big(x^4+\frac{1}{x^4}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)$ ･･･(4’)	(例５) $x^6+\frac{1}{x^6}=\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)^2-2$ ･･･(5) または $x^6+\frac{1}{x^6}=\big(x^4+\frac{1}{x^4}\big)\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)-\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)$ ･･･(5’) または $x^6+\frac{1}{x^6}=\big(x^5+\frac{1}{x^5}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x^4+\frac{1}{x^4}\big)$ ･･･(5”)

◆要約◆ 適当に積を作り、後で調整します。（「走ってから考える」ということ！･･･変形方法は一つとは限りません。）

(例題１) $x+\frac{1}{x}=3$ のとき， $x^2+\frac{1}{x^2}$ の値を求めなさい。また， $x^3+\frac{1}{x^3}$ の値を求めなさい。	(答案) $x^2+\frac{1}{x^2}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^2-2=3^2-2=7$ ･･･(答) $x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$ $=7\times3-3=18$ ･･･(答)
(例題２) $x,\hspace{2}y,\hspace{2}a\gt 0$ とする. $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=a$ とするとき， $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}$ を $a$ で表しなさい．	(答案) $\Big(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}\Big)^2=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+ 2=a+ 2$ だから $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{a+ 2}\hspace{5}(\gt 0)$ ･･･(答)

■==問題==

１

［ヒント］［解答］

$x^2+\frac{1}{x^2}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^2-2=5^2-2=23$ ･･･(答)
$x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$
$=23\times 5-5=110$ ･･･(答)

23
110

２

［ヒント］［解答］

$x^2+\frac{1}{x^2}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^2-2$
$x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^3-3\big(x+\frac{1}{x}\big)$
$x^4+\frac{1}{x^4}=\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)$
$x^5+\frac{1}{x^5}=\big(x^3+\frac{1}{x^3}\big)\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$

47
123

３ $x+\frac{1}{x}=a$ とおくとき， $x^3+\frac{1}{x^3}$ の値を $a$ で表わすと

(一つ選びなさい)　 $a^3$ ， $a^3-3a$ ， $a^3-a$

［ヒント］［解答］

$x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x+\frac{1}{x}\big)^3-3x$

$a^3-3a$

４

［ヒント］［解答］

$x+\frac{1}{x}=t$ とおくと
$t^2-2=3$
$t=\sqrt{5}\hspace{5}(\gt 0)$

$\sqrt{5}$ の根号の内部は5

５

［ヒント］［解答］

$x+\frac{1}{x}=t$ とおくと
$t^2-2=3$
$t=\sqrt{5}\hspace{5}(\gt 0)$
$x^3+\frac{1}{x^3}=\big(x^2+\frac{1}{x^2}\big)\big(x+\frac{1}{x}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big)$
$=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$

2
5

６※ $x\gt 0,\hspace{3}x-\frac{1}{x}=1$ のとき， $x+\frac{1}{x}$ の値を求めなさい。 (一つ選びなさい)　
$5$ ，　 $7$ ，　 $\sqrt{5}$ ，　 $\sqrt{7}$ 　

［ヒント］［解答］

$\big(x+\frac{1}{x}\big)^2=\big(x-\frac{1}{x}\big)^2+ 4=5$

$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$

７※ $x\gt 0,\hspace{3}x-\frac{1}{x}=a$ とするとき， $x^2-\frac{1}{x^2}$ の値を求めなさい。 (一つ選びなさい)
$a\sqrt{a^2+ 4}$ $a\sqrt{a^2-4}$ $a\sqrt{a^2+ 2}$ 　 $a\sqrt{a^2-2}$

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［ヒント］［解答］

$x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$
$(x+\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+ 4=a^2+ 4$
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{a^2+ 4}$
したがって
$x^2-\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})=a\sqrt{a^2+ 4}$

$a\sqrt{a^2+ 4}$