対称式の値
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対称式の変形のバックアップファイルです．
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== 対称式の変形 ==
〇このページでは，対称式の値を求める練習をします．内容的には，学校の定期テストや実力テストのレベルです．
【基本１】
(1.1)(a+b)2=a2+b2+2ab
(1.2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
（解説）
(1.1)→この関係式を使えば，
P=a+b, Q=a2+b2, R=ab
のうち２つの値が分かれば残り１つの値を求めることができます．
【例1.1】
a+b=3, a2+b2=5のときabの値を求めてください．
（解答）
(a+b)2=a2+b2+2abに代入すると
a, bそれぞれの値を求めてくださいと述べているわけではない．
指定された積abの値だけ求めるとよい．
32=5+2ab
2ab=4
ab=2…（答）
（解説）
(1.2)←
この式は，(1.1)を繰り返し適用して求めることができます．



(1.2)→この関係式を使えば，
P=a+b+c, Q=a2+b2+c2, R=ab+bc+ca
のうち２つの値が分かれば残り１つの値を求めることができます．
【例1.2】
a+b+c=4, ab+bc+ca=3のときa2+b2+c2の値を求めてください．
（解答）
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)に代入すると
42=a2+b2+c2+6
a2+b2+c2=16−6=10…（答）

【問題１】　次の各問いに答えてください．
選択肢の中から正しいものを１つクリック．解答すれば解説が出ます．
(1)
a+b=4, ab=1のとき，a2+b2の値を求めてください．
(2)
a+b+c=3, a2+b2+c2=29のとき，ab+bc+caの値を求めてください．

【基本２】
a+b=P, ab=Qとおくと
(2.1)a2+b2=P2−2Q
(2.2)a3+b3=P3−3PQ
(2.3)a4+b4=P4−4P2Q+2Q2
(2.4)a5+b5=P5−5P3Q+5PQ2
（解説）
(2.1)は(1.1)と同じものです．
これらは，
対称式の値は，基本対称式で表せる
というよく使われる性質の例となっています．
(2.1)は覚えますが，他は必要になってからその場で作ればよいでしょう．
(2.2)←
a3+b3が登場する公式は，展開公式と因数分解公式があります．自分の得意な方からスタートして(2.2)を作ればよい．
（展開公式からスタートするとき）
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
したがって
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=P3−3PQ
（因数分解公式からスタートするとき）
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3+b3=(a+b){(a+b)2−3ab}
したがって
a3+b3=P(P2−3Q)=P3−3PQ

(2.3)←
４次以上の展開公式や因数分解公式を覚えている人は，少ないと思います．２次や３次を手掛かりにして，求める形になるように少しずつ式の形を整えます．
（２次の展開公式からスタートするとき）

左辺に(2.1)を使うと


したがって



（３次の展開公式からスタートするとき）



(2.1)(2.2)の結果を代入すると



 (2.4)←
５次は２次と３次の組合せか４次と１次の組合せで作ることができます．
（２次と３次の組合せで作るとき）


(2.2)(2.3)の結果を使うと




（４次と１次の組合せで作るとき）


(2.2)(2.3)の結果を使うと



※「数分でできる」ということだけを覚え，結果は覚えないと割り切る方が，ストレスをためない秘訣かな

【問題２】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
a+b=2, a2+b2=8のとき，a3+b3の値を求めてください．
(2)
a+b=1, ab=1のとき，a4+b4の値を求めてください．

【基本３】
３つの文字a, b, cの対称式は，基本対称式a+b+c, ab+bc+ca, abcで表せる.
(3.1)

(3.2)は
を使って変形する
(3.3)は
を使って変形する

も求めておく
（解説）
(3.1)は(1.2)と同じものです．
(3.2)←
この公式は，大学入試では必須公式ですが，思い出せない場合でも数分で作れます．
とりあえずを展開して，不要な部分を引くことを考えます．







したがって

（やや難しい）
【問題３】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
のとき，
の値を求めよ．
（同志社大2000年入試問題）
9 12 18 27
(2)
a+b+c=0, a2+b2+c2=2のとき，a4+b4+c4の値を求めてください．

【基本４】
正の整数に対して，の値は，の多項式で表せる．
（解説）
なのでとの対称式は和が与えられていれば，積が与えられていなくても式の値が求められることになります．
【例】





 　一般に，正の整数以下のすべての自然数について，
がの多項式で表されるならば，もの多項式で表される．（数学的帰納法で示せます．）



ここで，は各々の多項式だから，それらの積の差はの多項式だと言える．

【問題４】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
のとき，の値を求めてください．
(2)
のとき，の値を求めてください．

(3)
の１つの解をとするとき，の値を求めてください．
(4)
のとき，の値を求めてください．
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【2022年共通テスト問題.数学ⅠA】第１問（引用）
［1］
　実数a, b, cが
a+b+c=1･･･①
および
a2+b2+c2=13･･･②
を満たしているとする。
(1)　(a+b+c)2を展開した式において，①と②を用いると
ab+bc+ca=アイ
であることがわかる。よって
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=ウエ
である。
(2)　の場合に，(a−b)(b−c)(c−a)の値を求めてみよう。
b−c=x, c−a=yとおくと
x+y=オカ
である。また，(1)の計算から
x2+y2=キク
が成り立つ。
　これらより
(a−b)(b−c)(c−a)=ケ
である。
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