高校数学・根号計算

センター/共通試験問題(数と式)

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，センター･共通･数と式のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【目次】 • 対称式の変形
• $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値
• 根号計算 • 分母の有理化
• 無理数の独立
• 対称式の値（無理数）
• 絶対値の入試問題
• 文字式を含む根号計算
• 二重根号
• センター･共通･数と式
• 根号計算の入試問題

== センター･共通･数と式 ==

【センター試験2013年度数学Ⅰ・A 第１問［１］】

$A=\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{6}},\hspace{5}B=\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ とする。
　このとき

AB=

$(1+\sqrt{6})^2-$ ア

$\sqrt{6}-$ イ

ウ

であり，また
$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}=$ エ+オ $\sqrt{6}$
である。以上により

A+B=

カ $-\sqrt{6}$

キ

となる。

　いずれも教科書レベルの基本問題です．おそらく，受験生はほぼ全員でき，この問題で差は付かないでしょう．
　「あわてず」「着実に」やることが重要です．特に「符号の間違いがないか」など，1回は見直しをする方がよいでしょう．

アイウ→ 解説を読む

$AB=\frac{1}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{6})(1-\sqrt{3}+\sqrt{6})}=\frac{1}{(1+\sqrt{6})^2-\fbox{3}}$ →ア
$=\frac{1}{7-2\sqrt{6}-3}=\frac{1}{4+ 2\sqrt{6}}=\frac{4-2\sqrt{6}}{16-24}=\frac{4-2\sqrt{6}}{-8}$
$=\frac{\sqrt{6}-\fbox{2}}{\fbox{4}}$ →イウ
→解説を隠す←

エオ→ 解説を読む

$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}=1+\sqrt{3}+\sqrt{6}+ 1-\sqrt{3}+\sqrt{6}=\fbox{2}+\fbox{2}\sqrt{6}$ →エオ
→解説を隠す←

カキ→ 解説を読む

$A+ B=AB(\frac{1}{A}+\frac{1}{B})=\frac{\sqrt{6}-2}{4}(2+ 2\sqrt{6})$
$=\frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+ 1)}{2}=\frac{6-\sqrt{6}-2}{2}=\frac{\fbox{4}-\sqrt{6}}{\fbox{2}}$ →カキ
→解説を隠す←

【センター試験2014年度数学Ⅰ・A 第１問】

[1]　 $a=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}},\hspace{5}b=\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}$ とおく。

(1)　ab=ア
a+b=イ(ウエ+ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ オ　)
a2+b2=カ(キ− $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ク　)
である。
(2)　ab=アとa2+b2+4(a+b)=ケコから，aは
a4+サa3−シスa2+セa+ソ=0
を満たすことがわかる。

ア→ 解説を読む

$ab=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}\times\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-3}{1-2}=\fbox{2}$ →ア
→解説を隠す←

イウエオ→ 解説を読む

$a+ b=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}+\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}$
$=\frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})+(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$
$=\frac{1+\cancel{\sqrt{3}}-\sout{\sqrt{2}}-\sqrt{6}+ 1-\cancel{\sqrt{3}}+\sout{\sqrt{2}}-\sqrt{6}}{1-2}$
$=\frac{2-2\sqrt{6}}{-1}=\fbox{2}(\fbox{-1}+\sqrt{\fbox{6}})$ →イウエオ
→解説を隠す←

カキク→ 解説を読む

$a^2+ b^2=(a+ b)^2-2ab=2^2(-1+\sqrt{6})^2-4$
$=4(7-2\sqrt{6})-4=24-8\sqrt{6}=\fbox{8}(\fbox{3}-\sqrt{\fbox{6}})$ →カキク
→解説を隠す←

ケコ→ 解説を読む

$a^2+ b^2+ 4(a+ b)=8(3-\sqrt{6})+ 8(-1+\sqrt{6})=\fbox{16}$
→ケコ
→解説を隠す←

サシスセソ→ 解説を読む

$ab=2$ より $b=\frac{2}{a}$
これを $a^2+ b^2+ 4(a+ b)=16$ に代入する
$a^2+(\frac{2}{a})^2+ 4a+ 4(\frac{2}{a})=16$
$a^4+ 4+ 4a^3+ 8a=16a^2$
$a^4+ 4a^3-16a^2+ 8a+ 4=0$ →サシスセソ
→解説を隠す←

【センター試験2017年度数学Ⅰ・A 第１問】

[1]　xは正の実数で， $x^2+\frac{4}{x^2}=9$ を満たすとする。このとき
$\big(x+\frac{2}{x}\big)^2=$ アイ

であるから， $x+\frac{2}{x}=$ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ アイ　である。さらに
$x^3+\frac{8}{x^3}=(x+\frac{2}{x})\big(x^2+\frac{4}{x^2}-$ ウ $\big)$
=エ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ オカ　
である。また
$x^4+\frac{16}{x^4}=$ キク
である。

アイ→ 解説を読む

（対称式の応用）

$P_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ は， $P_1=x+\frac{1}{x}$ の多項式で表される．←よく出る！基本！できるようにしておく方がよい．

$\big(x+\frac{2}{x}\big)^2=x^2+\frac{4}{x^2}+ 4=9+ 4=\fbox{13}$ →アイ
→解説を隠す←

ウ→ 解説を読む

$x^3+\frac{8}{x^3}=(x+\frac{2}{x})\Big(x^2+\frac{4}{x^2}-\fbox{2}\Big)$ →ウ
→解説を隠す←

エオカ→ 解説を読む

$=\sqrt{13}(9-2)=\fbox{7}\sqrt{\fbox{13}}$ →エオカ
→解説を隠す←

キク→ 解説を読む

$x^4+\frac{16}{x^4}=(x^2+\frac{4}{x^2})^2-8=81-8=\fbox{73}$ →キク
（別解）･･nが2の累乗でない場合でもできる方法
$x^4+\frac{16}{x^4}=(x^3+\frac{8}{x^3})(x+\frac{2}{x})-2(x^2+\frac{4}{x^2})$
$=7\sqrt{13}\times\sqrt{13}-2\times 9=91-18=73$ →キク

とりあえず $P_{n-1}\times P_1$ を作ってみて，合わない分を調整する．

→解説を隠す←

【センター試験2018年度数学Ⅰ・A 第１問】

[1]　xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5−x)(6−x)(7−x)
とおく。整数nに対して
(x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+アn
であり，したがって，X=x(5−x)とおくと
A=X(X+イ)(X+ウエ)
と表せる。

$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき，X=オであり，A=2カ
である。

ア→ 解説を読む

日頃よく見かける式ではないが，指示に沿って埋めて行けば，できるようになっている．何か覚えてくる必要はなく，その場で判断すればよい

A=x(5−x)·(x+1)(6−x)·(x+2)(7−x)と書ける
X=x(5−x)とおくと
(x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+nx+5n−nx
=x(5−x)+n2+5n→ア
→解説を隠す←

イウエ→ 解説を読む

アの結果から，X=x(5−x)とおくと
n=1のとき，
(x+1)(6−x)=x(5−x)+12+5×n=X+6
n=2のとき，
(x+2)(7−x)=x(5−x)+22+5×2=X+14
A=X·(X+6)(X+14)→イウエ
→解説を隠す←

オカ→ 解説を読む

$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき
$x(5-x)=\frac{5+\sqrt{17}}{2}(5-\frac{5+\sqrt{17}}{2})=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\times\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
$=\frac{25-17}{4}=\fbox{2}$ →オ
$A=2\times 8\times 16=2^{\fbox{8}}$ →カ
→解説を隠す←

【センター試験2019年度数学Ⅰ・A 第１問】

[1]　aを実数とする。
9a2−6a+1=(アa−イ)2である。次に
$A=\sqrt{9a^2-6a+ 1}+|a+ 2|$
とおくと
$A=$

(アa−イ)2 $+|a+ 2|$
である。
　次の三つの場合に分けて考える。

$a\gt\frac{1}{3}$ のとき， $A=$ ウa+エである。
$-2\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ のとき， $A=$ オカa+キである。
$a\lt -2$ のとき， $A=-$ ウa−エである。

A=2a+13となるaの値は

ク，

ケコ

サ

である。

アイ→ 解説を読む

教科書レベルの基本問題なので，確実にできるようにしておきたい

9a2−6a+1=(3a−1)2→アイ
→解説を隠す←

ウエ→ 解説を読む

A=|3a−1|+|a+2|だから

$a\gt\frac{1}{3}$ のとき，
3a−1>0, a+2>0になり
A=(3a−1)+(a+2)=4a+1→ウエ

→解説を隠す←

オカキ→ 解説を読む

$-2\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ のとき，
3a−1<0, a+2>0になり
A=(−3a+1)+(a+2)=−2a+3→オカキ

→解説を隠す←

クケコサ→ 解説を読む

$a\gt\frac{1}{3}$ のとき
$A=4a+ 1=2a+ 13$
$3a=12$
$a=\fbox{6}$ →ク
$-2\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ のとき
$A=-2a+ 3=2a+ 13$
$4a=-10$
$a=-\frac{5}{2}$ →不適当
$a\lt -2$ のとき
$A=-4a-1=2a+ 13$
$6a=-14$
$a=\frac{\fbox{-7}}{\fbox{3}}$ →ケコサ

→解説を隠す←

【共通テスト2022年度数学Ⅰ・A 第１問】

[1]　実数a, b, cが
a+b+c=1･･･①
および
a2+b2+c2=13･･･②
を満たしているとする。

(1)　(a+b+c)2を展開した式において，①と②を用いると
ab+bc+ca=アイ
であることがわかる。よって
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=ウエ
である。
(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に(a−b)(b−c)(c−a)の値を求めてみよう。
b−c=x, c−a=yとおくと
x+y=オカ $\sqrt{5}$
である。また，(1)の計算から
x2+y2=キク
が成り立つ。
　これらより
(a−b)(b−c)(c−a)=ケ $\sqrt{5}$
である。

このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

アイ→ 解説を読む

対称式の変形などの基本問題なので，確実にできるようにしておきたい

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
1=13+2(ab+bc+ca)
$ab+ bc+ ca=\frac{-12}{2}=\fbox{-6}$ →アイ
→解説を隠す←

ウエ→ 解説を読む

(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
=2×13−2×(−6)=26+12=38→ウエ
→解説を隠す←

オカ→ 解説を読む

$x-y=(b-c)+(c-a)=b-a=\fbox{-2}\sqrt{5}$ →オカ
→解説を隠す←

キク→ 解説を読む

(1)の結果から
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=38
$(a-b)^2+ x^2+ y^2=38$
$a-b=2\sqrt{5}$ の場合
$x^2+ y^2=38-20=\fbox{18}$ →キク
→解説を隠す←

ケ→ 解説を読む

$(a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}\times xy$
オカキクの結果より
$x+ y=-2\sqrt{5}$
$x^2+ y^2=18$
$xy=\frac{(x+ y)^2-(x^2+ y^2)}{2}=\frac{20-18}{2}=1$
したがって
$(a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}\times xy=\fbox{2}\sqrt{5}$ →ケ
→解説を隠す←