高校数学・根号計算

根号計算No.2

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，分母の有理化のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【目次】 • 対称式の変形
• $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値
• 根号計算 • 分母の有理化
• 無理数の独立
• 対称式の値（無理数）
• 絶対値の入試問題
• 文字式を含む根号計算
• 二重根号
• センター･共通･数と式
• 根号計算の入試問題

== 分母の有理化 ==
■解説
○　分母に根号を含む式を，分母に根号が含まれない形に変形することを分母の有理化という．
■有理化の長所1
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41421356...}$
では，どこまでいっても計算が始まらないが，
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1.41421356...}{2}$
の形ならば，前から順に必要なだけ求められる．
■有理化の長所２

$\frac{1}{\sqrt{2}}+ 3\sqrt{2}\hspace{10}(\frac{1}{x}+ 3x)$ の形
では，簡単になるかどうか分からないが，

$\frac{\sqrt{2}}{2}+ 3\sqrt{2}\hspace{10}(\frac{x}{2}+ 3x)$ の形
ならば，簡単になる．

○　右の I の形の式は， $\fbox{\sqrt{2}}$ で示した部分を分母と分子の両方に掛けると根号が２乗になって分母が有理化できる．単純に分母と同じものを掛けてもできるが，(2)の例のように分母の全体を掛けなくても，分母のうちで根号になっている部分だけ掛ければよい．(2)の例で分母分子に2 を掛けても間違いではないが，この場合はできた分数を２で約分することになり，遠回りになる．
　なお，元の式で分子に何があるかは変形方法に関係がなく，正しく変形していくだけでよい．

○　右の II の形の式では，分母と同じものを掛けても分母から根号は消えない．
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=5+ 2\sqrt{15}+ 3$
$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2=5-2\sqrt{15}+ 3$
そこで，
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$
の形に合うように，「分母に和があれば，差を掛け」「分母に差があれば，和を掛ける」と根号を取り除くことができる．
II の(1)では分母が和の形： $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ になっているから，差： $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を分母分子に掛けたものである．
II の(2)では分母が差の形： $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ になっているから，和： $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分母分子に掛けたものである．

○　右の * の形の式では，分母を２乗しても有理数とはならないから，このような式では分母の有理化はできない．

○　右の III の形の式は，３乗の形にすれば根号が外れるので，計算はやや難しくなるが発展学習として有理化できる．
IIIの(2)では
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a - b)(a²+ab+b²)=a³ - b³
の公式が使えるように変形する．

I　（分母が単項式のもの）

(1) $\frac{1}{\fbox{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\frac{5}{2\fbox{\sqrt{3}}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

II　（分母が和または差のもの）
(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
(2) $\frac{7}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{7(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}$

*　（有理化できないもの）
　　 $\frac{1}{\pi},\hspace{10}\frac{1}{e}$
　　（π は円周率 3.1415...）
　　（e は自然対数の底[ネイピアの数] 2.71828...）

III　（３乗根は発展学習）

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\hspace{10}\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}$
　

【要約：無理数の分母の有理化】
I　
　単項式では，分母の根号部分を分母分子に掛ける．
II　
　分母が和になっていれば差を，差になっていれば和を分母分子に掛ける．
* III　
　有理化できるのは，根号の場合で， $\frac{1}{\pi}$ のように根号でない無理数は有理化できない．
　分母に３乗根などがあるときは，３乗して根号を消す変形を考える．

【例】
(1) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$
(2) $\frac{1}{\sqrt[3]{5}+ \sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2}}{(\sqrt[3]{5}+ \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2})}$
$=\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}{5+ 3}=\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}{8}$

【問題１】　分母を有理化してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

解説やり直す

$\frac{1}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $3$ $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ …（答）

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(2)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{5}$ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ $\frac{2}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ …（答）

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(3)
$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{10}$

$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$ …（答）

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(4)
$\frac{2}{\sqrt{6}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\times \sqrt{6}}{\sqrt{6}\times \sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ …（答）

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(5)
$\frac{1}{\sqrt{18}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{18}}{18}$

$\frac{1}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ …（答）

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【問題２】　分母を有理化してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{6}+ \sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}+ \sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6}$

$\frac{1}{\sqrt{6}- \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+ \sqrt{3}}{(\sqrt{6}- \sqrt{3})(\sqrt{6}+ \sqrt{3})}=\frac{\sqrt{6}+ \sqrt{3}}{3}$ …（答）

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(2)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}}$

解説やり直す

$\frac{\sqrt{10}+ \sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{10}-2}{3}$ $\frac{\sqrt{10}}{5-\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}- \sqrt{2})}{(\sqrt{5}+ \sqrt{2})(\sqrt{5}- \sqrt{2})}=\frac{\sqrt{10}-2}{3}$ …（答）

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(3)
$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

解説やり直す

$-2\sqrt{3}+ 3$ $-2\sqrt{3}-3$ $2\sqrt{3}-3$ $2\sqrt{3}+ 3$

$\frac{\sqrt{3}}{2- \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(2+ \sqrt{3})}{(2- \sqrt{3})(2+ \sqrt{3})}=2\sqrt{3}+ 3$ …（答）

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(4)
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}$

解説やり直す

$5+ 2\sqrt{6}$ $5-2\sqrt{6}$ $\frac{1}{5+ 2\sqrt{6}}$ $\frac{3-\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+ \sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{5-2\sqrt{6}}{1}=5-2\sqrt{6}$ …（答）

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(5)
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

解説やり直す

$\frac{4+\sqrt{15}}{8}$ $\frac{4-\sqrt{15}}{8}$ $4+\sqrt{15}$ $4-\sqrt{15}$

$\frac{\sqrt{5}+ \sqrt{3}}{\sqrt{5}- \sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}- \sqrt{3})(\sqrt{5}+ \sqrt{3})}=\frac{8+ 2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$ …（答）

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