高校数学・根号計算

根号計算（入試問題）

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

【目次】 • 対称式の変形
• $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値
• 根号計算
• 分母の有理化
• 無理数の独立
• 対称式の値（無理数）
• 絶対値の入試問題
• 文字式を含む根号計算
• 二重根号
• センター･共通･数と式
• 根号計算の入試問題

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，根号計算の入試問題のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
== 根号計算の入試問題 ==
*** 目次 ***（クリックすればその項目にジャンプします）

[1] 分母の有理化

【例題１】
　 $\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+ \frac{2}{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}+ \sqrt{2}}$

（解説）
このような式を簡単にするとき「通分する」と分母は３つの式の積になり，分子は２つずつの積の形になります．（これは不利です）
$\frac{(\sqrt{3}+ \sqrt{5})(\sqrt{5}+ \sqrt{2})+2(\sqrt{2}+ \sqrt{3})(\sqrt{5}+ \sqrt{2})-3(\sqrt{2}+ \sqrt{3})(\sqrt{3}+ \sqrt{5})}{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})(\sqrt{3}+ \sqrt{5})(\sqrt{5}+ \sqrt{2})}$
しかし「１つずつ有理化する」と残りの２つの式とは無関係にできます．（この方が有利です）
$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+ \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{3-5}-\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}$ $=\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \sqrt{5}-\sqrt{3}+ \sqrt{2}-\sqrt{5}=0$

【要点１】
根号を含む分数が幾つもある場合，通分よりも分母の有理化の方が有利

【類題】

$\frac{1}{-\sqrt{2}+ \sqrt{3}+ \sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+ \sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}-\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}+ \sqrt{5}}$
を計算せよ．

解説やり直す

$0$ $2$ $3$ $\frac{\sqrt{6}}{5}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ $\frac{\sqrt{30}}{3}$

$\frac{1}{(-\sqrt{2}+ \sqrt{3})+ \sqrt{5}}=\frac{(-\sqrt{2}+ \sqrt{3})-\sqrt{5}}{(-\sqrt{2}+ \sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{(-\sqrt{2}+ \sqrt{3})-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}$
$\frac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})+ \sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}$
$\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$
$\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$
（原式）
$=\frac{1}{2\sqrt{6}}(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})$
$=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{30}}{6}=\frac{\sqrt{30}}{3}$

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

【問題１】

$\frac{1}{1+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+\frac{1}{1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
を計算せよ．

（尾道大2005年度）

解説やり直す

1 2 3 5 6

$\frac{1}{1+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}=\frac{1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+ \sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}}{3+ 2\sqrt{2}-3}=\frac{1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}+ \sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}-3}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1+ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}{(1+ \sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{1+ \sqrt{2}+\sqrt{3}}{3+ 2\sqrt{2}-3}=\frac{1+ \sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}-3}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$
（原式）
$=\frac{1}{2\sqrt{2}}(1+ \sqrt{2}-\sqrt{3}-1+ \sqrt{2}+\sqrt{3}+ 1+ \sqrt{2}+\sqrt{3}-1+ \sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$
※ $\frac{1}{1+ (\sqrt{2}+ \sqrt{3})}=\frac{1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{1^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-4-2\sqrt{6}}$
などと変形すると，分母が２項になり不利です．ここでは $1+ 2-3=0$ をうまく使えるように，上記のように $1,\hspace{5}\sqrt{2}$ の組と $\sqrt{3}$ の和差になるように組み合わせるのが有利です．

[2] 対称式の値

【例題２】
　 $x=\frac{1}{\sqrt{7}+ \sqrt{3}},\hspace{5}y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ とする．このとき
$xy,\hspace{5}x+ y,\hspace{5}x^3+ y^3$
の値をそれぞれ求めよ．

（埼玉大2001年度）

（解説）
$xy=\frac{1}{(\sqrt{7}+ \sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{1}{4}$
また
$x=\frac{1}{\sqrt{7}+ \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$
$y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$
だから
$x+ y=\frac{2\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
$x^3+ y^3=(x+ y)(x^2-xy+ y^2)$
$=(x+ y)\{(x+ y)^2-3xy\}=\frac{\sqrt{7}}{2}((\frac{\sqrt{7}}{2})^2-\frac{3}{4})$
$=\frac{\sqrt{7}}{2}(\frac{7}{4}-\frac{3}{4})=\frac{\sqrt{7}}{2}$

【要点２】
$x^3+ y^3$ のような「対称式」の値は，「基本対称式」 $xy,\hspace{5}x+ y$ を利用して求める．

【問題２】

(1)
$x=\frac{\sqrt{3}+ 1}{\sqrt{3}-1},\hspace{5}y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+ 1}$ のとき， $x^3+ y^3$ の値を求めよ．

（防衛大2016年度）

解説やり直す

26 30 52 60 64

$xy=\frac{\sqrt{3}+ 1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+ 1}=1$
また
$x=\frac{\sqrt{3}+ 1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+ 1)^2}{3-1}=\frac{3+ 1+ 2\sqrt{3}}{2}=2+ \sqrt{3}$
$y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+ 1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=\frac{3+ 1-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$
だから
$x+ y=4$
このとき
$x^3+ y^3=(x+ y)(x^2-xy+ y^2)$
$=(x+ y)\{(x+ y)^2-3xy\}=4(4^2-3)=4\times 13=52$

(2)
$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\hspace{5}y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $x^2+ y^2$ (ii) $\sqrt{x}-\sqrt{y}$

（東北学院大2016年度）

(i)

解説やり直す

20 21 22 23 24 25

$x+ y=5,\hspace{5}xy=1$ だから
$x^2+ y^2=(x+ y)^2-2xy=5^2-2=23$

(ii)

解説やり直す

$3$ $-3$ $\sqrt{3}$ $-\sqrt{3}$ $\sqrt{21}$ $-\sqrt{21}$

$x-y$ や $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ のような式は対称式ではない（入れ換えると値が変わってしまう：交代式）．
この式自体は基本対称式 $x+ y$ と $xy$ では表せないが，その２乗を求めて逆算するとよい．ただし， $x\lt y$ だから， $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ の符号は負になることに注意
$\sqrt{x}-\sqrt{y}=a$ とおくと
$a^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x+ y-2\sqrt{xy}=5-2=3$
$a=-\sqrt{3}\hspace{10}(a\lt 0)$

[3] 逆数の和の値

【要点３】

$x^n+\frac{1}{x^n}$ のように逆数の和になっている式の値は， $x+\frac{1}{x}$ で表すことができる．

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+ \frac{1}{x})^2-2$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x+ \frac{1}{x})-(x+ \frac{1}{x})$
$x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2$
または
$x^4+\frac{1}{x^4}=(x^3+\frac{1}{x^3})(x+ \frac{1}{x})-(x^2+\frac{1}{x^2})$
$x^5+\frac{1}{x^5}=(x^3+\frac{1}{x^3})(x^2+ \frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})$
または
$x^5+\frac{1}{x^5}=(x^4+\frac{1}{x^4})(x+ \frac{1}{x})-(x^3+\frac{1}{x^3})$
※結果を覚える必要はない．次数の低い式で作ってみて，「後出しジャンケン」風に多い分を引けばよい．

【問題３】

(1)

$x=2-\sqrt{3}$ のとき， $x+ \frac{1}{x}=$ ア， $x^3+ \frac{1}{x^3}=$ イ．

（工学院大2014年度）

（ア）

解説やり直す

1 2 3 4 5

$x=2-\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+ \sqrt{3}}{4-3}=2+ \sqrt{3}$
$x+\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}+ 2+ \sqrt{3}=4$

（イ）

解説やり直す

13 52 56 60 64

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+ \frac{1}{x})(x^2-1+ \frac{1}{x^2})$
$=(x+ \frac{1}{x})\{(x+ \frac{1}{x})^2-3\}=4(16-3)=52$

(2)

$x+ \frac{1}{x}=3$ のとき， $x^3+ x^2+ x+ 1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x^3}=$ アである．

（東北学院大2014年度）

解説やり直す

28 29 30 31 32

$x^3+ x^2+ x+ 1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x^3}$
$=(x^3+ \frac{1}{x^3})+(x^2+ \frac{1}{x^2})+(x+ \frac{1}{x})+ 1$
$=(x+ \frac{1}{x})\{(x+ \frac{1}{x})^2-3\}+\{(x+ \frac{1}{x})^2-2\}+(x+ \frac{1}{x})+ 1$
$=3\times(3^2-3)+(3^2-2)+ 3+ 1=29$
※この問題は
$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ の値を直接的に使わなくてもできます．
もっと極端な話として，「 $x+ \frac{1}{x}=1$ のとき」となっていても問題は同様に解けますが，そのような $x$ の値は虚数で，数学Ⅰの段階ではまだ習っていないのに問題は解けていることになります．

[4] 二重根号
二重根号は，高等学校学習指導要領から一時期消えていて，平成21年改訂後の教科書では発展学習として復活しています．

【要点３】

$a\gt 0,\hspace{5}b\gt 0$ のとき
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(a+ b)+ 2\sqrt{ab}$
だから
$\sqrt{(a+ b)+ 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
です．

【例】
$\sqrt{5+ 2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$\sqrt{7+ 2\sqrt{12}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+ \sqrt{3}$

同様にして $a\gt 0,\hspace{5}b\gt 0\hspace{5}a\gt b$ のとき

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=(a+ b)- 2\sqrt{ab}$
だから
$\sqrt{(a+ b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
です．

【例】
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$

※いずれも，内側の根号の前に２が付いている場合に，和と積が与えられた２数を求めると二重根号がはずれます．

【問題４】

[1]
$a=\sqrt{7+ 4\sqrt{3}}$ とする．このaを２重根号を使わずに簡単な形で表すとa=カと表せる．
また，a5−4a4+2a3−4a2+a−2の値はキである．

（慶応義塾大2005年度）

（カの値）

解説やり直す

$2+\sqrt{3}$ $4+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ $\sqrt{7}+ 1$

$a=\sqrt{7+ 4\sqrt{3}}=\sqrt{7+ 2\sqrt{12}}$
積が12で和が7となる２数は4と3だから
$a=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$

（キの値）

解説やり直す

−2 −1 0 1 2

$a=2+\sqrt{3}$ を１つの解とする２次方程式を作り，割り算を行って次数を下げてから代入する．
$a=2+\sqrt{3}\rightarrow a-2=\sqrt{3}\rightarrow (a-2)^2=3$
$\rightarrow a^2-4a+ 4=3\rightarrow a^2-4a+ 1=0$
a5−4a4+2a3−4a2+a−2=(a2−4a+1)(a3+a)−2=−2

[2]
$x=\sqrt{3\sqrt{2}+ 4},\hspace{5}y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$ のとき， $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ の値を求めよ．

（岩手大2011年度）

解説やり直す

2 3 6 12 18

a, b>0のとき
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
だから
$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{3\sqrt{2}+ 4}}{\sqrt{3\sqrt{2}-4}}=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}+ 4}{3\sqrt{2}-4}}=\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}+ 4)^2}{(3\sqrt{2})^2-4^2}}$
$=\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}+ 4)^2}{2}}=\frac{3\sqrt{2}+ 4}{\sqrt{2}}=3+ 2\sqrt{2}$
$\frac{y}{x}=\frac{1}{3+ 2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{1}=3-2\sqrt{2}$
したがって
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=6$
※この問題は，高校数学の教育課程に二重根号がなかった時代のものなので，二重根号の計算を行わずに解く方法がある．
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+ y^2}{xy}$
において， $xy=(\sqrt{3\sqrt{2}+ 4})(\sqrt{3\sqrt{2}-4})=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{2}$
$x^2+ y^2=3\sqrt{2}+ 4+ 3\sqrt{2}-4=6\sqrt{2}$
だから
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+ y^2}{xy}=6$

[5] 整数部分，小数部分

【要点４】

例えば

$\sqrt{2}=1.41421\cdots$ の小数部分をaとするとき，a2の値を求めよ

という問題において

a2=0.41421···2=0.1715699···

などという答は近似値に過ぎず，小数を無限に書いていくこともできません．

この問題について正確に答えるには， $1\underline{\le}\sqrt{2}=1.41421\cdots\lt 2$ から，初めに整数部分を求めます．

整数部分は1

次に，整数部分を取り除いたものが小数部分です．

小数部分は $\sqrt{2}-1$

$\sqrt{2}$ の小数部分をaとするとき，a2の値は
$(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}$

【例題５】
$\frac{\sqrt{2}+ 1}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分をa，小数部分をbとするとき，a=である．また， $\frac{1}{b}$ の整数部分はである．

（北海道工業大2005年度）

（解説）
$\frac{\sqrt{2}+ 1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+ 1)^2}{2-1}=3+ 2\sqrt{2}=5.8\cdots$
だから
$a=5,\hspace{5}b=3+ 2\sqrt{2}-5=2\sqrt{2}-2$
$\frac{1}{b}=\frac{1}{2\sqrt{2}-2}=\frac{2\sqrt{2}+ 2}{8-4}=\frac{2\sqrt{2}+ 2}{4}=\frac{\sqrt{2}+ 1}{2}=\frac{2.4\cdots}{2}$
$=1.2\cdots$ の整数部分は1
【問題５】

[1]
$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分をa，小数部分をbとする．このとき，a2+ab+b2と $\frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a+ b+ 1}$ の値を求めよ．

（琉球大2011年度）

（a2+ab+b2）の値

解説やり直す

6 7 8 9 10

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+ 1)}{3-1}=\sqrt{3}+ 1=2.73\cdots$
だから
$a=2,\hspace{5}b=\sqrt{3}+ 1-2=\sqrt{3}-1$
このとき
$a^2+ ab+ b^2=2^2+ 2(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}-1)^2$
$=4+ 2\sqrt{3}-2+ 4-2\sqrt{3}=6$
※a+bは元の数 $\sqrt{3}+ 1$ だから，一般的には(a+b)2−abと変形するのが有利であるが，上記の単純計算との差はわずかだと思われる．

（ $\frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a+ b+ 1}$ ）の値

解説やり直す

$\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$ $5\sqrt{3}$

$\frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a+ b+ 1}=\frac{1}{2-(\sqrt{3}-1)-1}-\frac{1}{2+(\sqrt{3}-1)+ 1}$
$=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-\frac{1}{2+ \sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$
$=2+\sqrt{3}-2+ \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

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[2]
$2+\sqrt{3}$ の小数部分をaとするとき，次の設問に答えよ．
(1)　aの値を求めよ．
(2)　 $a^3+\frac{1}{a^3}$ の値を求めよ．
(3)　a3+4a2+2a−3の値を求めよ．

（岡山理科大2005年度）

(1)　aの値

解説やり直す

$\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $2-\sqrt{3}$ $\sqrt{3}+ 1$

$2+\sqrt{3}=3.73\cdots$ の整数部分は3だから
小数部分は $2+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-1$

(2)　 $a^3+\frac{1}{a^3}$ の値

解説やり直す

$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$ $\frac{6-3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}-1}{4}$ $\frac{27\sqrt{3}-35}{4}$

$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+ 1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+ 1}{2}$
$a+ \frac{1}{a}=\sqrt{3}-1+\frac{\sqrt{3}+ 1}{2}=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$
だから
$a^3+\frac{1}{a^3}=(a+\frac{1}{a})\{(a+\frac{1}{a})^2-3\}$
$=(\frac{3\sqrt{3}-1}{2})\{(\frac{3\sqrt{3}-1}{2})^2-3\}=\cdots=\frac{27\sqrt{3}-35}{4}$

(3)　a3+4a2+2a−3の値

解説やり直す

0 1 2 3 4

$a=\sqrt{3}-1$ などの値を3次式などに代入するとき，直接代入すると複雑な3乗の展開計算になって不利です．
このような場合は「＝0となる方程式を作って」「割り算で商と余りに分けて」「余りに代入します」．
$a=\sqrt{3}-1\rightarrow a+ 1=\sqrt{3}\rightarrow (a+ 1)^2=3$
$\rightarrow a^2+ 2a+ 1=3\rightarrow a^2+ 2a-2=0$
a3+4a2+2a−3をa2+2a−2で割ると，商がa+2，余りが1になるから
a3+4a2+2a−3=(a2+2a−2)(a+2)+1
$a=\sqrt{3}-1$ のときa2+2a−2=0だから
a3+4a2+2a−3=1

[3]

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の小数部分をaとするとき，aは2次方程式
x2+アx+イ=0の解であり，a3+6a2−21a+23

の値はウ+エ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ オ　である．

（早稲田大2014年度）

（x2+アx+イ=0の式）

解説やり直す

x2+2x−3=0 x2−2x+3=0

x2−8x+8=0 x2+8x−8=0

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{3-2}=5+ 2\sqrt{6}=5+ 2\times 2.4\cdots$
$=9.8\cdots$ の整数部分は9だから，小数部分は $a=5+ 2\sqrt{6}-9=2\sqrt{6}-4$
このとき
$a+ 4=2\sqrt{6}\rightarrow (a+ 4)^2=24$
$a^2+ 8a+ 16=24$
$a^2+ 8a-8=0$
だから，aは2次方程式x2+8x−8=0の解

（a3+6a2−21a+23の値）

解説やり直す

$\sqrt{6}-1$ $2\sqrt{6}-4$ $3\sqrt{6}-2$ $6\sqrt{6}-5$

a3+6a2−21a+23をa2+8a−8で割ると，商がa−2，余りが3a+7になるから
a3+6a2−21a+23=(a2+8a−8)(a−2)+3a+7
ここで $a=2\sqrt{6}-4$ のとき，a2+8a−8=0だから
a3+6a2−21a+23=0×(a−2)+3a+7=3a+7
$=3(2\sqrt{6}-4)+ 7=6\sqrt{6}-5$