高校数学・根号計算

対称式の値（無理数）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対称式の値（無理数）のバックアップファイルです．
♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【目次】 • 対称式の変形
• $x^n+\frac{1}{x^n}$ の値
• 根号計算 • 分母の有理化
• 無理数の独立
• 対称式の値（無理数）
• 絶対値の入試問題
• 文字式を含む根号計算
• 二重根号
• センター･共通･数と式
• 根号計算の入試問題

== 対称式の値（無理数） ==
《解説》

■　対称式とは

　x+y , xy , x2+y2 , x3+y3のようにxとyを入れ替えたときに

それぞれ，y+x , yx , y2+x2 , y3+x3となって，元の式と同じ値になる

式の値が変わらないものを対称式といいます.（以下2文字の場合を扱います.）

■　基本対称式

　２文字の対称式のうち，x+yとxyを基本対称式といいます.

■　対称式の性質

　対称式は，基本対称式で表すことができます.

【例】
$x^2+ y^2=($ $x+ y$ $)^2-2$ $xy$
$x^3+ y^3=(x+ y)^3-3x^2y-3xy^2$
$=(x+ y)^3-3xy(x+ y)$
$\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=\frac{x^2+ y^2}{xy}=\frac{(x+ y)^2-2xy}{xy}$

　対称式でないもの（例えば次の例のように文字を入れ替えると式の符号が変わるもの：交代式）は基本対称式だけでは表せません．

$x^2-y^2=(x+ y)(x-y)$

■無理数を与えられた式に代入するときにも，対称式の性質を利用するのが普通です．

もちろん，直接代入することもできますが，直接代入すると複雑な式になることが多く，計算間違いしやすくなります．
以下の問題では，そのような直接代入による力まかせの答案ではなく，対称式の変形として普通に行われる方法を扱います．

≪例≫
$x=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\hspace{5}y=\frac{1}{2+ \sqrt{3}}$ のとき $x^2+ y^2$ の値を求めよ．

（答案）
分母を有理化すると
$x=\frac{2+ \sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+ \sqrt{3})}=\frac{2+ \sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
$y=\frac{2- \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2- \sqrt{3})}=\frac{2- \sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
になるから，
$x+ y=4,xy=1$ ←これを求めるところがポイント
ゆえに
$x^2+ y^2=(x+ y)^2-2xy=16-2=14$

以下の問題では，採点すると解答が出ます．採点しないと出ません．

《問題》

1
$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},\hspace{3}y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき
3x2−5xy+3y2の値を求めなさい.

ｘ＝５-2√6，ｙ＝5+2√6
ｘ＋ｙ＝10，ｘｙ＝1
を利用して
3ｘ²-5ｘｙ+3ｙ²
＝3(ｘ＋ｙ)²-11ｘｙ
を計算します.

$3\times 10^2-11=289$

2
$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\hspace{3}y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ のとき，x4+x2y2+y4の値を求めなさい.

ｘ＋ｙ＝3，ｘｙ＝1より
ｘ²+ｙ²
＝（ｘ＋ｙ）²-2ｘｙ
＝7
を利用して
ｘ⁴+ｘ²ｙ²+ｙ⁴
＝（ｘ²+ｙ²）²−ｘ²ｙ²
を計算します.

$(3^2-2)^2-1=7^2-1=48$

3
$x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},\hspace{3}y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ のとき， $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$ の値を求めなさい.

ｘ＋ｙ＝√6，ｘｙ＝1
を利用して
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+ y^2}{xy}$
＝ｘ²+ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²−2ｘｙ
を計算します.

$6-2=4$

4
$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},\hspace{3}y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき
x3+xy+y3の値を求めなさい.

ｘ＝５-2√6，ｙ＝5+2√6
ｘ＋ｙ＝10，ｘｙ＝1
を利用して
ｘ³+ｘｙ+ｙ³
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ²-ｘｙ+ｙ²）+ｘｙ
を計算します.

$(x+ y)\{(x+ y)^2-3xy\}+ xy$
$=10\{10^2-3\}+ 1=10\times 97+ 1$
$=971$

5
$x=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+ 1},\hspace{3}y=\frac{\sqrt{2}+ 1}{\sqrt{2}-1}$ のとき
x3+x2y+xy2+y3 の値を求めなさい.

ｘ＝3-2√2、ｙ＝3+2√2
ｘ＋ｙ＝6，ｘｙ＝1だから
ｘ²+ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²-2ｘｙ
＝34
ｘ³+ｘ²ｙ+ｘｙ²+ｙ³
＝(ｘ²+ｙ²)(ｘ＋ｙ)
を利用します.

$(6^2-2)\times 6=34\times 6=204$

《解説》

■　交代式とは

x−y , x2−y2のように，xとyを入れ替えると符号が逆になるものを交代式といいます.

■交代式は，対称式と交代式を組み合わせて表現できます.

≪例≫
$x=\frac{1}{2-\sqrt{3}},y=\frac{1}{2+ \sqrt{3}}$ のとき $x^3- y^3$ の値を求めよ．

（答案）
分母を有理化すると
$x=2+\sqrt{3}$
$y=2-\sqrt{3}$
になるから，
$x+ y=4,xy=1$
$x-y=2\sqrt{3}$ ←交代式ではこの式も必要
ここで
$x^3- y^3=(x-y)(x^2+ xy+ y^2)$
$=(x-y)\lbrac (x+ y)^2- xy \rbrac$
$=2\sqrt{3}\times (16-1)=30\sqrt{3}$ …（答）

■ $x^n + \frac{1}{x^n}$ の形の式

$x^n + \frac{1}{x^n}$ の形の式は $x + \frac{1}{x}$ の多項式で表せます．

【例】
$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+ \frac{1}{x})^2-2$ $x^3 + \frac{1}{x^3}=(x+ \frac{1}{x})(x^2-x\cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2})$
$=(x+ \frac{1}{x})\lbrac (x + \frac{1}{x})^2-3} \rbrac$

≪例≫
$x=\frac{\sqrt{7}- \sqrt{3}}{\sqrt{7}+ \sqrt{3}}$ のとき次の式の値を求めなさい．

(1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

（答案）
(1)
$x=\frac{(\sqrt{7}- \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}+ \sqrt{3})(\sqrt{7}- \sqrt{3})}=\frac{7-2\sqrt{21}+3}{7-3}}$
$=\frac{10-2\sqrt{21}}{4}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
$\frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{7}+ \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}+ \sqrt{3})(\sqrt{7}- \sqrt{3})}=\frac{7+2\sqrt{21}+3}{7-3}}$
$=\frac{10+ 2\sqrt{21}}{4}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$
だから
$x + \frac{1}{x}=5$
(2)
$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+ \frac{1}{x})^2-2=25-2=23$
(3)
$x^3 + \frac{1}{x^3}=(x+ \frac{1}{x})\lbrac (x + \frac{1}{x})^2-3} \rbrac$
$=5(25-3)=110$

《問題》

$x=\frac{\sqrt{2}- 1}{\sqrt{2}+ 1}$ のとき， $x^3+\frac{1}{x^3}$ の値を求めなさい.

ｘ＋1/ｘ＝6
$x^2+\frac{1}{x^2}$ ＝36−2＝34
を利用します.

$x^3+ \frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+ \frac{1}{x^2})$
$=6\times (34-1)=198$

$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき， $x^2+\frac{1}{x^2}$ の値を求めなさい.

次の式を下ごしらえしておきます
$x+\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}+ 1}{2}+\frac{2}{\sqrt{5}+ 1}$
$=\frac{\sqrt{5}+ 1}{2}+\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1}$
$=\frac{\sqrt{5}+ 1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}$
次に， $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$
を求めます

$5-2=3$

$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ のとき， $x^4+\frac{1}{x^4}$ の値を求めなさい.

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次の式を下ごしらえしておきます
$x+\frac{1}{x}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}+ 2+\sqrt{3}=4$
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=14$
次に $x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2$
を計算します

$14^2-2=194$