高校数学・根号計算

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，無理数の独立のバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【目次】 • 対称式の変形 • の値 • 根号計算 • 分母の有理化 • 無理数の独立 • 対称式の値（無理数） • 絶対値の入試問題 • 文字式を含む根号計算 • 二重根号 • センター･共通･数と式 • 根号計算の入試問題 == 無理数の独立 == 《解説》 （定理1） が有理数のとき， なお，この関係はでなくても、など，平方数でない数の根号に関しても成り立ちます. が有理数という条件がなければ，［→］は成り立ちません. 例　 例

（証明） ［←］　だから，明らか. ［→］ 　まず，を示す： のとき，と変形でき、左辺は無理数，右辺は有理数だから矛盾． 背理法により，が示される. 　次に，を示す： より，

（定理2） が有理数のとき， などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

（証明） ［←］　明らか. ［→］ 　となり，が有理数であることから、 定理１により， 　ゆえに，

（余談）：定理1は定理2において，ｃ＝ｄ＝0とすれば得られます.つまり，定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし，上に示したように，定理1から定理2が示されるので，定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには，どちらの形で使ってもかまいません. 例 　のとき，有理数の値を求めなさい. 定理2の形で使うときは：・・・(答) 定理1の形で使うときは：より ゆえに・・・(答) このように，定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます. 定理1と定理2のような特別＝一般の関係は，恒等式の係数比較などでも見られます. 定理1　「がの恒等式　←→　」 定理2　「がの恒等式　←→　」

《問題》---定理の使い方の練習 1 　が有理数で， のとき， ，		ａ-２ａ√2-4√2+16＝ｂ-10√2 ａ+16-(２ａ＋４)√2＝ｂ-10√2 と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから ａ+16＝ｂ，2ａ+4＝10
2 　が有理数で， のとき， ，		(３ａ＋２ｂ－１)+(－ａ＋３ｂ＋４)√2＝0 と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから ３ａ＋２ｂ－１＝0，－ａ＋３ｂ＋４＝0
3 　が有理数で， 　のとき， ，		分母を払うと ３ａ－ａ√5+３ｂ√5-5ｂ＝-9+7√5 ａ，ｂは有理数だから 3a-5b=-9，-ａ+3ｂ＝7 （別解） のように変形して，左辺を単純に計算するだけで答えてもよい． より

《問題》---背理法による証明の練習
1 　以下の問に答えよ.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい． (1) 　有理数ｐ，ｑ，ｒについて，ｐ＋ｑ√2+ｒ√3＝0ならば，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0であることを示せ.   （「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）           （答案例を見る→）	ｐ＋ｑ√2＝-ｒ√3　と変形 両辺を2乗すると，ｐ2+2ｐｑ√2+2ｑ2＝3ｒ2 ここでｐｑ≠0と仮定すると √2＝（3ｒ2-ｐ2-2ｑ2）/2ｐｑ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえにｐｑ＝0がいえる. ア)　ｐ＝0のとき， ｑ√2+ｒ√3＝0の両辺に√2をかけて 2ｑ+ｒ√6＝0 ここでｒ≠0と仮定すると√6＝-２ｑ/ｒ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえにｒ＝0がいえる. このとき、ｑ√2＝0よりｑ＝0 以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0 イ)　ｑ＝0のとき， ｐ＝-ｒ√3 ここでｒ≠0と仮定すると √3＝-ｐ／ｒ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえにｒ＝0がいえる. このとき、ｐ＝0√3＝0 以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0 ア）イ）いずれの場合も， ｐ＝ｑ＝ｒ＝0が成り立つ.

2 　ａ，ｂを整数，ｕ，ｖを有理数とする.　ｕ＋ｖ√3　が 　ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解であるならば，ｕとｖは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい. （「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）   （答案例を見る→）

ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解は，だから ａ２－４ｂ＝3ｋ2（ａ，ｂ，ｋは整数）のとき，すなわち ・・・(1)のとき ａもｋも2の倍数になることを示せばよい. ａ２－3ｋ2＝４ｂ（ａ，ｂ，ｋは整数）が成立するかどうかを調べる. ア）ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎ＋１のとき 　ａ２－3ｋ2＝4ｍ2-3（4ｎ2+4ｎ+1） ＝4Ｎ-3となって成立しない.（Ｎは整数．以下同様） イ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎのとき 　ａ２－3ｋ2＝4ｍ2+4ｍ+1-3（4ｎ2） ＝4Ｎ＋1となって成立しない. ウ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎ+1のとき 　ａ２－3ｋ2＝4ｍ2+4ｍ+1-3（4ｎ2+4ｎ+1） ＝4Ｎ-2となって成立しない. 背理法により，ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎがいえる. (1)によりｕ，ｖは整数となる.

3 　ａ，ｂ，ｃが有理数で，ａ√2+ｂ√3+ｃ√6＝0ならばａ＝ｂ＝ｃ＝０といえるかどうか調べなさい.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい.     （答案例を見る→） このページの内容について，質問や間違いの指摘があるときは，下の「コメントを投稿」という文字をクリックしてください（↓↓）

ａ√2+ｂ√3＝-ｃ√6の両辺を2乗すると ２ａ2＋３ｂ2＋２ａｂ√6＝6ｃ2 ここでａｂ≠0と仮定すると √6=(6ｃ2-２ａ2-３ｂ2)/２ａｂ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえに，ａｂ＝０がいえる. ア）ａ＝０のとき ｂ√3＝-ｃ√6よりｂ＝-ｃ√2 ｃ≠0ならば√2＝-ｂ/ｃ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえにｃ＝0 このときｂ√3＝0だからｂ＝0 以上より，ｂ＝ｃ＝0 イ）ｂ＝0のとき ａ√2＝-ｃ√6よりａ＝-ｃ√3 ｃ≠0ならば√3＝-ａ/ｃ 左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾 ゆえにｃ＝0 このときａ√2＝0だからａ＝0 以上より，ａ＝ｃ＝0 ア）イ）いずれの場合も， ａ＝ｂ＝ｃ＝0が成り立つ.